Задача 66831
|
|
 |
Условие
Назовём пару ($m, n$) различных натуральных чисел $m$ и n хорошей, если $mn$ и $(m + 1)(n + 1)$ – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое $n > m$, что пара ($m, n$) хорошая.
Решение
Пара $(m, m(4m+3)^2)$ хорошая. Действительно, $(m+1)(m(4m + 3)^2 + 1) = (m + 1)(16m^3 + 24m^2 + 9m + 1) = (m + 1)^2(16m^2 + 8m + 1) = ((m + 1)(4m + 1))^2$.
Замечания
1. Путь к решению. Естественно попытаться найти такое $n$, что $n + 1 = k^2(m+1)$, а $\frac{n}{m} = \frac{k^2(m+1)-1}{m} = k^2 + \frac{k^2-1}{m}$ – тоже квадрат. Самый простой способ это обеспечить – положить $k^2 - 1 = m(4k + 4)$, тогда $k - 1 = 4m$, а $\frac{n}{m} = (k+2)^2$.
2. 8 баллов.
