Страница:
<< 15 16 17 18
19 20 21 >> [Всего задач: 273]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок [0, 1] разбит на p + q одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из p + q – 2 чисел 1/p, 2/p, ..., p–1/p, 1/q, 2/q, ..., q–1/q.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдётся число, взаимно простое с остальными.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b будем обозначать [a, b]. Пусть натуральное число n таково, что [n, n + 1] > [n, n + 2] > ... > [n, n + 35].
Докажите, что [n, n + 35] > [n, n + 36].
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
a) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны.
б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумали по четыре натуральных числа?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
По кругу стоят 101000 натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное.
Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 101000 последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?
Страница:
<< 15 16 17 18
19 20 21 >> [Всего задач: 273]
Фильтр
