Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 107]

Задача 61128

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Докажите равенство

б) Вычислите суммы

Прислать комментарий

Решение

Задача 61143

Темы:	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите все корни уравнения (z – 1)ⁿ = (z + 1)ⁿ.
Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61448

[Интерполяционная формула Ньютона]

Темы:	[	Интерполяционный многочлен Ньютона	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент

интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты d₀, d₁, ..., d_n в этом представлении вычисляются по формуле d_k = Δ^kf(0) (0 ≤ k ≤ n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61449

[Целозначные многочлены]

Темы:	[	Интерполяционный многочлен Ньютона	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, ..., n.
Докажите, что где d₀, d₁, ..., d_n – некоторые целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61498

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
а) (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
б) (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 107]