ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61448
Темы:    [ Интерполяционный многочлен Ньютона ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
Название задачи: Интерполяционная формула Ньютона.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент      интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты  d0, d1, ..., dn  в этом представлении вычисляются по формуле  dk = Δkf(0)  (0 ≤ k ≤ n).


Решение

  а) Докажем по индукции, что такое представление существует. База  (n = 0)  очевидна.
  Шаг индукции. Поскольку многочлены    обращаются в ноль в точке  x = 0,  то  d0 = f(0).
   При этом  f(x) = d0 + xg(x).  Положим  t = x – 1.  По предположению индукции многочлен  g(t + 1)  записывается в виде      Значит,

что и требовалось.

  б)      (поскольку   ).   Значит,     Подставив в эти равенства  x = 0,  получаем нужное утверждение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 1
Название Конечные разности
Тема Последовательности (прочее)
задача
Номер 11.021

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .