Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждая сторона правильного треугольника разбита на n равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на n² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.
  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  n = 10?
  б) Тот же вопрос для  n = 9.

   Решение

---

В треугольнике ABC взяты точка N на стороне AB, а точка M – на стороне AC. Отрезки CN и BM пересекаются в точке O,  AN : NB = 2 : 3,  BO : OM = 5 : 2.
Найдите  CO : ON.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61448  [Интерполяционная формула Ньютона]

Темы:   [ Интерполяционный многочлен Ньютона ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент      интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты  d₀, d₁, ..., d_n  в этом представлении вычисляются по формуле  d_k = Δ^kf(0)  (0 ≤ k ≤ n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61449  [Целозначные многочлены]

Темы:   [ Интерполяционный многочлен Ньютона ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках  x = 0, 1, ..., n.
Докажите, что     где  d₀, d₁, ..., d_n  – некоторые целые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61451

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Интерполяционный многочлен Ньютона ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что если многочлен  f(x) степени n принимает целые значения в точках  x = 0, 1, ..., n,  то он принимает целые значения во всех целых точках.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32088

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Индукция (прочее) ] [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ] [ Интерполяционный многочлен Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями