Задача 61143

Темы:    [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Найдите все корни уравнения  (z – 1)ⁿ = (z + 1)ⁿ.
Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Решение

  Заметим, что если  z = cos 2φ + i sin 2φ,  то  
Запишем уравнение в виде     Тогда     следовательно, корни уравнения
z_k = i ctg ^kπ/_n  (1 ≤ k ≤ n – 1).
  С другой стороны, раскрыв в уравнении скобки по формуле бинома Ньютона и сделав сокращения, привёдем его к виду     По теореме Виета  σ₁(z₁, ..., z_n–1) = 0,  
Отсюда  

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.079