Версия для печати
Убрать все задачи
По поляне, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной 100 м, бегает
волк. Охотник убивает волка, если стреляет в него с расстояния не более 30 м.
Доказать, что охотник может убить волка, как бы быстро тот ни бегал.
Решение
В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных; словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на шесть непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.
Решение
Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.
Решение
Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?
Решение
В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.
Решение
Четырехугольник
ABCD вписанный. Пусть
ra,
rb,
rc,
rd — радиусы
вписанных окружностей треугольников
BCD,
ACD,
ABD,
ABC. Докажите, что
ra +
rc =
rb +
rd.
Решение
Фильтр
