ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32030
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?


Решение

Среди чисел от 1 до 1984 есть 992 чётных. Каждое из них дает по крайней мере одну двойку в разложение на простые множители числа 1984!. Две двойки в это разложение дадут числа, делящиеся на 4 (их всего 496). Далее, по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 двоек соответственно дадут 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 и 1 число, делящиеся на 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024 соответственно. Сложив результаты, мы и получим искомое количество двоек:
992 + 496 + 248 + 124 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 1979.


Ответ

1979 двоек.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 06
Дата 1983
задача
Номер 03

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .