Каталог по темам

Задачи

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 421]

Задача 67201

Тема:

[

Ограниченность, монотонность

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Гарманова Т.А.

Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.

Прислать комментарий Решение

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий Решение

Задача 79595

Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Системы линейных уравнений	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кукушкин Б.Н.

Функция $f(x)$ при каждом значении $x \in (-\infty, + \infty)$ удовлетворяет равенству $$f(x) + \left(x + \frac12 \right) f(1 - x) = 1.$$

а) Найдите $f(0)$ и $f(1)$.

б) Найдите все такие функции $f(x)$.

Прислать комментарий Решение

Задача 97790

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кисиль В.В.

Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log_₂n] + [log_₃n] + ... + [log_nn].

Прислать комментарий

Решение

Задача 97817

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
Темы:	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Анджанс А.

a₁, a₂, a₃, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что a_{a_k} = 3k для любого k.
Найти а) a₁₀₀; б) a₁₉₈₃.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 421]