Задача 67201
|
|
 |
Условие
Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.Решение
1)Подставив $m=0$, $n=0$, получим $f(f(0))=f(0)+1$. Если $f(0)=0$, то получим $f(0)=f(0)+1$, что невозможно.2) Пусть $f(0)=a$, где $a\in\mathbb{N}$. Из первого пункта следует, что $f(a)=a+1$. Если подставить $m=0$, $n=a$, то получим, что $f(2a)=f(a)+1=a+2$. Поэтому значения функции на концах отрезка $[a;2a]$ являются двумя последовательными натуральными числами. По условию функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ строго возрастает, а значит, на отрезке $[a;2a]$ не должно быть других целых точек помимо $a$ и $2a$, так как в противном случае значения в этих точках совпадали бы с $a+1$ или $a+2$, что противоречило бы строгому возрастанию. Следовательно, $2a-a=1,$ т.е. $a=1$.
Подставляя в исходное соотношение $m=0$ и учитывая равенство $f(0)=1$, получаем $f(n+1)=f(n)+1$. Таким образом, $f(n)=n+1$, следовательно, $f(2023)=2024$.
