Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным  60^o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

   Решение

---

Пусть n – натуральное число. На  2n + 1  карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении  *x²ⁿ + *x^2n–1 + ... *x + *  так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Всегда ли это можно сделать?

   Решение

---

Существует ли такой квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111778

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена  f₁, ...,  f₁₀₀₄,  среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения  f_i = f_j  (i ≠ j),  и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66897

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35377

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60935

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Рассмотрим графики функций  y = x² + px + q,  которые пересекают оси координат в трёх различных точках.
Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64349

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке).
Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями