Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

   Решение

---

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

   Решение

---

Цифры 1, 2, ..., 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

   Решение

---

Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности

a) a_n = n²;        б) a_n = n³?

   Решение

---

Доказать, что  (1 + ⅓)(1 + ⅛)(1 + ¹/₁₅)...(1 + ¹/_n²+2n) < 2  при любом натуральном n.

   Решение

---

Решите в целых числах неравенство:  x² < 3 – 2cos πx.

   Решение

---

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.
При каких n такое возможно?

   Решение

---

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79402

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Доказать, что последовательность x_n = sin(n²) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61323  [Арифметико-гармоническое среднее]

Темы:   [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Лемма о вложенных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и  a < b.  Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

  а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
  б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
  в) Пусть  a = 1,  b = k.  Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61324  [Геометрико-гармоническое среднее]

Темы:   [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66741

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61302

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = , а остальные элементы определяются соотношением

Докажите, что

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями