Задача 61324

Темы:    [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11 Название задачи: Геометрико-гармоническое среднее.

Условие

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

a₀ = a,   b₀ = b,   a_n+1 = ,   b_n+1 =   (n ≥ 0).

Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Решение

Можно считать, что  a < b.  Рассмотрим последовательности  {c_n} = {1/_bn},  {d_n} = {1/_an}.  Тогда     Согласно задаче 61322 последовательности {c_n} и {d_n} имеют общий предел  μ(1/_a, 1/_b). Следовательно, последовательности {a_n} и {b_n} имеют общий предел, равный  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.074