Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]

Задача 73828

Темы:	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Дан треугольник C₁C₂O. В нём проводится биссектриса C₂C₃, затем в треугольнике C₂C₃O – биссектриса C₃C₄ и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов γ_n = C_n+1C_nO стремится к пределу, и найдите этот предел, если C₁OC₂ = α.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60607

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби [a₀; a₁, ..., a_n, ...] существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61330

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p² - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y₀ = 0, y_{n + 1} = ${\dfrac{q}{p-y_n}}$ (n $\geqslant$ 0);
б) z₀ = 0, z_{n + 1} = p - ${\dfrac{q}{z_n}}$ (n $\geqslant$ 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z^* и корнями уравнения x² - px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61337

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Производная и касательная	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Последовательность чисел x₀, x₁, x₂,...задается условиями

x₀ = 1, x_{n + 1} = a^x_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61486

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть (1 + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ )ⁿ = p_n + q_n $\sqrt{2}$ + r_n $\sqrt{3}$ + s_n $\sqrt{6}$ (n $\geqslant$ 0). Найдите:

а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{q_n}}$ ; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{r_n}}$ ; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{s_n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]