ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73828
Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник C1C2O. В нём проводится биссектриса C2C3, затем в треугольнике C2C3O – биссектриса C3C4 и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов  γn = Cn+1CnO  стремится к пределу, и найдите этот предел, если  C1OC2 = α.


Решение

  Из условия следует, что Cn+1Cn+2 – биссектриса угла треугольника Cn Cn+1O (см. рис.), поэтому  2γn+1 + γn + α = π.   (1)

  Докажем, что γn стремится к пределу  β = π–α/3.  Перепишем (1) так:  2(γn+1 – β) = β – γn.  Отсюда следует, что  |γn+1 – β| = ½ |γn – β|,  то есть что разность между γn и β при переходе от n к  n + 1  уменьшается вдвое. Следовательно,  |γn – β| = 21–n1 – β|  стремится к нулю.


Ответ

π–α/3.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М293

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .