ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]      



Задача 73632

Темы:   [ Средняя линия треугольника ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A1B1, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A2B2, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A1B1, A2B2,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?
Прислать комментарий     Решение


Задача 105191

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Теоремы о среднем значении ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Для заданных натуральных чисел k0<k1<k2 выясните, какое наименьшее число корней на промежутке [0; 2π) может иметь уравнение вида

sin(k0x)+A1·sin(k1x) +A2·sin(k2x)=0

где A1, A2 – вещественные числа.
Прислать комментарий     Решение

Задача 73715

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Логарифмические неравенства ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 8+
Классы: 10,11

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию fT(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда fT(n) = a + 2 + (na)/10, где a последняя цифра числа n, то есть fT(n) растёт примерно как n/10.

а) Предложите стратегию, для которой функция fT растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции fT ввести функцию fT, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел fT(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу fT для произвольной стратегии T.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109598

Темы:   [ Необычные построения ]
[ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки подобия ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность    неограничена.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73769

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вычисление площадей ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .