ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 97976

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", k-е слово получается из (k–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61338

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Последовательность чисел a1, a2, a3,...задается условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a9000 > 30;
в) найдите предел $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$ {\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61336

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{1}{2}}}$ . $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{1}{2}}}}$...


Прислать комментарий     Решение

Задача 61322

 [Арифметико-геометрическое среднее]
Темы:   [ Средние величины ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Лемма о вложенных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём  a < b.  Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается  μ(a, b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 65336

Темы:   [ Дискретное распределение ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Условная вероятность ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Рассеянный Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий – нечётное число?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .