ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Числовые последовательности >> Предел последовательности, сходимость
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

Вниз   Решение

Автор: Бородин П.А.

Решите уравнение $$ x^3+(\log_25+\log_32+\log_53) x=(\log_23+\log_35+\log_52) x^2+1. $$

ВверхВниз   Решение

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i2 = $\displaystyle \sqrt{-1}$ . $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      

  с решениями  

Задача 61486

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97976

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин В.

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", k-е слово получается из (k–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61338

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Последовательность чисел a1, a2, a3,...задается условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a9000 > 30;
в) найдите предел $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$ {\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61336

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$ . $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$...


Прислать комментарий     Решение

Задача 61322

 [Арифметико-геометрическое среднее]
Темы:   [ Средние величины ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Лемма о вложенных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём  a < b.  Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается  μ(a, b).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .