ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61323
Темы:    [ Средние величины ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Лемма о вложенных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
Название задачи: Арифметико-гармоническое среднее.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a и b – два положительных числа, и  a < b.  Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).

  а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
  б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
  в) Пусть  a = 1,  b = k.  Как последовательность {bn} связана с последовательностью {xn} из задачи 61299?


Решение

  а) См. решение задачи 61322.

  б) Ясно, что  an+1bn+1 = anbn = ab.  Переходя к пределу, получаем  l² = ab.


Ответ

в) Они совпадают.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 3
Название Итерации
Тема Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер 09.073

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .