Дано натуральное число n. Рассматриваются такие тройки различных натуральных чисел  (a, b, c),  что  a + b + c = n.  Возьмём наибольшую возможную такую систему троек, что никакие две тройки системы не имеют общих элементов. Число троек в этой системе обозначим через K(n). Докажите, что
  а)  K(n) > ⁿ/₆ – 1;
  б)  K(n) < ²ⁿ/₉.

   Решение

Из точки, расположенной вне окружности, проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные. Радиус окружности равен 10. Найдите длину каждой касательной.

   Решение

Угол A четырехугольника ABCD тупой; F — середина стороны BC. Докажите, что 2FA < BD + CD.

   Решение

Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 378]      

Найдите углы четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, если  ∠ABD = 74°,  ∠DBC = 38°,  ∠BDC = 65°.

Прислать комментарий

Решение

Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что у четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180^o.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого по порядку относятся как: а) 2:4:5:3; б) 5:7:8:9?

Прислать комментарий

Решение

Три последовательных угла вписанного четырёхугольника относятся как 1:2:3. Найдите все углы четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 378]