Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
В треугольной пирамиде противоположные рёбра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.
РешениеИзвестно, что f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение f(g(h(x))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
РешениеДан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0, 1)?
РешениеНа плоскости дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если A, B, C — любые три из них, то внутри треугольника ABC нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник A1A2...An будет выпуклым.
РешениеДано натуральное число n > 3. Назовём набор из n точек на координатной плоскости допустимым, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен P(x) разделяет допустимый набор точек, если либо выше графика P(x) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем k любой допустимый набор из n точек можно разделить многочленом степени не более k?
РешениеНа поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.
РешениеВ треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше
РешениеКаждое из рёбер полного графа с 9 вершинами покрашено в синий или красный цвет.
Докажите, что либо есть четыре вершины, все рёбра между которыми – синие, либо есть три вершины, все рёбра между которыми – красные.
Решение
Задачи
Задача 65093 |
|
|
За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?
|
|
Решение |
Задача 107849 |
|
|
За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые каждого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что каждые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.
|
|
|
Решение |
Задача 109750 |
|
|
В компании из 2n + 1 человека для любых n человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.
Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.
|
|
|
Решение |
Задача 30816 |
|
|
Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.
|
|
|
Решение |
Задача 30817 |
|
|
Каждое из рёбер полного графа с 9 вершинами покрашено в синий или красный цвет.
Докажите, что либо есть четыре вершины, все рёбра между которыми – синие, либо есть три вершины, все рёбра между которыми – красные.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]
