Задача 30817

Темы:    [ Теория графов (прочее) ] [ Раскраски ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Условие

Каждое из рёбер полного графа с 9 вершинами покрашено в синий или красный цвет.
Докажите, что либо есть четыре вершины, все рёбра между которыми – синие, либо есть три вершины, все рёбра между которыми – красные.

Решение

  Пусть есть вершина, из которой выходит шесть синих рёбер. Тогда всё следует из задачи 30815.
  В противном случае есть вершина, из которой выходит не более четырёх синих рёбер (из всех девяти вершин не может выходить по пять синих ребер). Тогда из неё выходит по крайней мере четыре красных ребра. Если хотя бы одно из рёбер, соединяющих их концы, – красное, то есть красный "треугольник". Если же все они синие, то образовался полный синий граф на четырёх вершинах.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	13
Название	Графы-2
Тема	Теория графов
задача
Номер	039