Задача 87062

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Равногранный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде противоположные рёбра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.

Решение

Докажем сначала, что у тетраэдра, противоположные рёбра которого попарно равны, все грани – остроугольные треугольники. Пусть в тетраэдре ABCD известно, что AB=CD=c , BC = AD=b и AC=BD=a ; ACB = γ (рис.1). Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Получим прямоугольный параллелепипед, диагонали граней которого равны a , b и c . Обозначим BL=x , BM=y , BK=z . Тогда по теореме Пифагора

x2+y2=a2, y2+z2=b2, x2+z2=c2,
откуда a2+b2-c2 = 2y2 . Значит,
cos γ = = = >0.
Следовательно, γ <90^o . Аналогично для остальных углов треугольника. Что и требовалось доказать. Перейдём к нашей задаче (рис.2). Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около данного тетраэдра. Перпендикуляры, опущенные из точки O на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней. Причём, поскольку все грани – остроугольные треугольники, центры их описанных окружностей лежат внутри треугольников, а т.к. грани – равные треугольники, то радиусы их описанных окружностей равны. Обозначим их через R1 . Тогда расстояния от точки O до плоскостей граней равны = r . Значит, точка O удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r . Следовательно, O – центр вписанной сферы, а r – радиус этой сферы.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7280