ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78072
Темы:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше $ \sqrt{2}$r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение

Пусть две вершины рассматриваемого квадрата лежат на стороне AB. Окружность S1, вписанная в этот квадрат, касается стороны AB и расположена строго внутри данного треугольника ABC (она заведомо не касается сторон AC и BC). Поэтому существует треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны сторонам треугольника ABC и касаются окружности S1, а сам он расположен внутри треугольника ABC, причём не совпадает с ним. Следовательно, радиус окружности S1 меньше r. Но сторона квадрата равна удвоенному радиусу окружности S1. Рассмотрим теперь окружность S2, описанную вокруг квадрата. Она имеет общую точку с каждой стороной треугольника ABC, причём по крайней мере стороны AB она не касается. Поэтому существует треугольник A2B2C2, стороны которого параллельны сторонам треугольника ABC и касаются окружности S2, а сам он содержит треугольник ABC, причём не совпадает с ним. Следовательно, радиус окружности S2 больше r. Но сторона квадрата равна радиусу окружности S2, умноженному на $ \sqrt{2}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 19
Год 1956
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .