Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC угол B — прямой, величина угол C равен ( > ), точка D — середина гипотенузы. Точка A₁ симметрична точке A относительно прямой BD. Найдите угол BA₁C.

   Решение

---

В основании треугольной пирамиды NKLM лежит правильный треугольник KLM . Высота пирамиды, опущенная из вершины N , проходит через середину ребра LM . Известно, что KL = a , KN = b . Пирамиду пересекает плоскость β , параллельная рёбрам KN и LM . На каком расстоянии от вершины N должна находиться плоскость β , чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была наибольшей?

   Решение

---

Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй – 2, третий – 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?

   Решение

---

Назовём натуральные числа a и b друзьями, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если a – друг b, то a – друг НОД(a, b).

   Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 277]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115412

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116270

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Четность и нечетность ] [ Раскраски ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

По кругу лежат 100 белых камней. Дано целое число k в пределах от 1 до 50. За ход разрешается выбрать любые k подряд идущих камней, первый и последний из которых белые, и покрасить первый и последний камни в чёрный цвет. При каких k можно за несколько таких ходов покрасить все 100 камней в чёрный цвет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116666

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Назовём натуральные числа a и b друзьями, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если a – друг b, то a – друг НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116944

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Натуральные числа a, b и c, где c ≥ 2, таковы, что  ¹/_a + ¹/_b = ¹/_c.  Докажите, что хотя бы одно из чисел  a + c,  b + c – составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67003

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Про натуральные числа $x$, $y$ и $z$ известно, что $\operatorname{НОД}(x,y,z) = 1$ и $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$. Докажите, что $x$, $y$ и $z$ – квадраты натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 277]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями