Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 65]      

Найдите все такие конфигурации из шести точек общего положения на плоскости, что треугольник, образованный любыми тремя из них, равен треугольнику, образованному тремя остальными.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли взять в пространстве шесть точек $A_1$, ..., $A_6$ общего положения так, чтобы треугольники $A_1A_2A_3$ и $A_4A_5A_6$ были зацеплены, а два треугольника, соответствующие любому другому разбиению данных точек на две тройки, – нет?

Два треугольника в пространстве зацеплены, если контур одного пересекает внутренность другого в единственной точке.

Прислать комментарий

Решение

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

На окружности отметили n точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения n, при которых это возможно.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ – две четверки точек, не лежащих на одной окружности. Известно, что для любых $i$, $j$, $k$ радиусы описанных окружностей треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Обязательно ли $A_iA_j=B_iB_j$ для любых $i$, $j$?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 65]