ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 111339  (#1)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Шестиугольники ]
[ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 3
Классы: 6,8,9,10

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111340  (#2)

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке p стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких p Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111341  (#3)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Все целые числа от -33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111342  (#4)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

 k ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до  k – 1,  то эти значения равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111343  (#5)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Высоты AA' и CC' остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка B0 – середина стороны AC.
Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов B и AHC соответственно, лежит на прямой A'C'.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .