|
|
 |
Условие
Высоты AA' и CC' остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H. Точка B0 – середина стороны AC.
Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов B и AHC соответственно, лежит на прямой A'C'.
Решение
Как известно, ∠A = ∠BA'C' и ∠BCA = ∠BC'A'. Рассмотрим треугольник A*BC*, симметричный треугольнику A'BC' относительно биссектрисы угла B (см. рис.). Этот треугольник гомотетичен треугольнику ABC с центром в точке B. Значит, BB0 проходит через середину отрезка A*C*. Поэтому прямая, симметричная BB0 относительно биссектрисы угла B, проходит через середину отрезка A'C'. AC' и CA' – высоты треугольника AHC. Отсюда, как выше, следует, что прямая, симметричная HB0 относительно биссектрисы угла AHC, также проходит через середину отрезка A'C'.
