Задача 111342

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Малкин М.И.

 k ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до  k – 1,  то эти значения равны.

Решение

  Обозначим через P данный многочлен и через  x₁ < ... < x_k  – данные k целых точек. Так как  P(x_k) – P(x₁)  делится на  x_k – x₁ ≥ k – 1  (см. решение задачи 35562) и не превосходит по модулю  k – 2,  то  P(x_k) – P(x₁) = 0.  Поэтому  P(x) = P(x₁) + (x – x₁)(x – x_k)Q(x)  для некоторого многочлена Q с целыми коэффициентами.
   Если  P(x_i) ≠ P(x₁)  для некоторого  i = 3, 4, ..., k – 2,  то  Q(x_i) ≠ 0.  Тогда  |P(x_i) – P(x₁)| ≥ |(x_i – x₁)(x_i – x_k)| ≥ 2(k – 3) > k – 2.  Это противоречие показывает, что  P(x_i) = P(x₁).
   Итак,  P(x₃) = ... = P(x_k–2) = P(x₁).  Поэтому   P(x) = P(x₁) + (x – x₁)(x – x₃)(x – x₄)...(x – x_k–3)(x – x_k–2)(x – x_k)R(x).
  Если  P(x₂) ≠ P(x₁),  то  R(x₂) ≠ 0.  Тогда  |P(x₂) – P(x₁)| ≥ |(k – 4)!·(k – 2)| > k – 2.  Это противоречие показывает, что  P(x₂) = P(x₁).  Аналогично
P(x_k–1) = P(x₁).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	71
Год	2008
вариант
Класс	9
задача
Номер	4