ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 109542  (#93.4.10.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109529  (#93.4.11.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109530  (#93.4.11.2)

Темы:   [ Иррациональные неравенства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Карасев Р.

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109531  (#93.4.11.3)

Темы:   [ Сфера, вписанная в многогранный угол ]
[ Касательные к сферам ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Четырехугольная пирамида ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109532  (#93.4.11.4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Векторы сторон многоугольников ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .