ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109531
Темы:    [ Сфера, вписанная в многогранный угол ]
[ Касательные к сферам ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Четырехугольная пирамида ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.


Решение

Пусть S – вершина пирамиды, K, L, M и N – точки касания сферы с гранями пирамиды (см. рис.). Отрезки SK, SL, SM и SN равны как отрезки касательных, проведённых к сфере из точки S. Значит, точки K, L, M и N лежат ещё и на сфере с центром в точке S и радиусом SK, а следовательно, и на одной окружности, являющейся линией пересечения этой сферы с данной. Плоскость этой окружности перпендикулярна линии центров SO сфер, то есть параллельна плоскости основания пирамиды, а поэтому пересекает её боковые ребра. Обозначим эти точки пересечения через A1, B1, C1 и D1. Соединим точку N с точками A и D. Треугольники AA1N и AA1K равны, так как  A1K = A1N,  AK = AN  (отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки), а сторона AA1 у них общая. Следовательно,  ∠ANA1 = ∠AKA1.  Аналогично  ∠BKB1 = ∠BLB1,  ∠CLC1 = ∠CMC1  и  ∠DMD1 = ∠DND1.  Кроме того,
AKA1 = ∠BKB1,  ∠BLB1 = ∠CLC1  и  CMC1 = ∠DMD1  как вертикальные. Поэтому  ∠ANA1 = ∠DND1,  следовательно, точка N лежит на отрезке AD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 93.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .