ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109521  (#93.5.9.1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109522  (#93.5.9.2)

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60o . Докажите, что AC+BD1 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109523  (#93.5.9.3)

Темы:   [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Перлин А.

Квадратный трёхчлен  f(x) разрешается заменить на один из трёхчленов      или     Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена  x² + 4x + 3  получить трёхчлен  x² + 10x + 9?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109524  (#93.5.9.4)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109525  (#93.5.9.5)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Целые числа x, y и z таковы, что  (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z.  Докажите, что число  x + y + z  делится на 27.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .