Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109520 (#93.5.10.8)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тамаркин Д.

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

Прислать комментарий Решение

Задача 109521 (#93.5.11.1)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Гладкова Е.Б.

Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5n + 3 быть простым?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109508 (#93.5.11.2)

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Фельдман К.Э.

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.

Прислать комментарий Решение

Задача 109509 (#93.5.11.3)

Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Токарев С.И.

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(x^y)=f(x)^f(y) .

Прислать комментарий Решение

Задача 109510 (#93.5.11.4)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Августинович С., Фон-дер-Флаас Д.

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]