Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

Прислать комментарий

Решение

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

Прислать комментарий

Решение

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(x^y)=f(x)^f(y) .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]