ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109509
Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(xy)=f(x)f(y) .

Решение

f(x)1 , f(x) x . Заметив, что f(x) 1 удовлетворяет условию задачи, будем искать другие решения. Пусть f(a)1 при некотором a>0 . Тогда из равенств f(a)f(xy)=f(axy)=f(ax)f(y)=f(a)f(x)· f(y) следует, что

f(xy)=f(x)· f(y) (1)

для любых x , y>0 . А тогда из равенств f(a)f(x+y)=f(ax+y)=f(ax)· f(ay)=f(a)f(x)· f(a)f(y)=f(a)f(x)+f(y) следует, что
f(x+y)=f(x)+f(y) (2)

для любых x , y>0 . Из (1) имеем
f(1)=f(1· 1)=f(1)2,

т.е. f(1)=1 , а затем из (2) и (1) получаем
f(n)=f(1+..+1)=f(1)+..+f(1)=n, f()· n=f()· f(n)=f(m)=m,

т.е. для любых m , n
f()=. (3)

Предположим, что для некоторого x>0 имеет место неравенство f(x) x , скажем, f(x)<x (случай f(x)>x рассматривается аналогично). Подобрав число y= так, чтобы выполнялись неравенства
f(x)<y<x,

из (2) и (3) получаем противоречащее им неравенство.
f(x)=f(y+(x-y))=f(y)+f(x-y)>f(y)=y.

Итак, сделанное выше предположение неверно, поэтому f(x)=x для любого x>0 , и, разумеется, найденная функция годится.

Ответ

1, x .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 93.5.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .