ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 109521  (#93.5.11.1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109508  (#93.5.11.2)

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109509  (#93.5.11.3)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(xy)=f(x)f(y) .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109510  (#93.5.11.4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n2 правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
Прислать комментарий     Решение


Задача 109511  (#93.5.11.5)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Митькин Д.

Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .