Задача 109511

Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Митькин Д.

Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.

Решение

0,,0,,0,,0 , 1,,1,,1,,1 , -1,,-1,,1,,1 , -1,,-1,,-1,,1 (с точностью до перестановки чисел четверки). Рассмотрим модули искомых чисел и упорядочим их по неубыванию: a b c d . Заметим, что a bc , так как либо a=bc , либо a=bd bc , либо a=cd bc . Аналогично, d bc . Следовательно, bc a b c d bc , т.е. a=b=c=d=bc=x . Так как x=x² , то x=0 или x=1 . Остается проверить, что если в четверке есть отрицательные числа, то их количество равно двум или трем.

Ответ

0,0,0,0 , 1,1,1,1 , -1,-1,1,1 , -1,-1,-1,1 (с точностью до перестановки чисел четверки).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	93.5.11.5