Задача 109542

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение

  Заметим, что игра не может продолжаться бесконечно: ходов каждого типа можно сделать не более 999. Рассмотрим правый нижний фрагмент доски квадрат 3×3 (см. рис.). Пусть кентавр оказался в клетке a3. Игрок, делающий ход с a3, либо выигрывает, либо проигрывает.
  В первом случае второй игрок может добиться того, чтобы делать ход с этой клетки  (a1 → a2 → b3 → a3  или  a1 → b2 → b3 → a3),  а во втором случае он может заставить своего противника ходить с a3  (a1 → a2 → a3  или  a1 → b2 → c3 → b3 → a3).  Поэтому при правильной игре второй игрок выигрывает.

Ответ

Второй игрок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	93.4.10.8