ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109542
Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?


Решение

  Заметим, что игра не может продолжаться бесконечно: ходов каждого типа можно сделать не более 999. Рассмотрим правый нижний фрагмент доски квадрат 3×3 (см. рис.). Пусть кентавр оказался в клетке a3. Игрок, делающий ход с a3, либо выигрывает, либо проигрывает.
  В первом случае второй игрок может добиться того, чтобы делать ход с этой клетки  (a1 → a2 → b3 → a3  или  a1 → b2 → b3 → a3),  а во втором случае он может заставить своего противника ходить с a3  (a1 → a2 → a3  или  a1 → b2 → c3 → b3 → a3).  Поэтому при правильной игре второй игрок выигрывает.


Ответ

Второй игрок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 93.4.10.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .