ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109530
Темы:    [ Иррациональные неравенства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Карасев Р.

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.


Решение

  Утверждение будет доказано, если мы покажем, что при  n ≥ 3  справедливо равенство     Для этого достаточно показать, что при  n ≥ 3  справедливы неравенства     то есть  
  Правое неравенство следует из того, что  n²(n + 2) < (n + ⅔)³  и  n(n + 2)² < (n + 4/3)³.  Левое неравенство следует из того, что     и  n(n + 2) > (n + ⅚)²  при  n > 5/12,  то есть при  n ≥ 3.

Замечания

1. Правое неравенство можно доказать, воспользовавшись неравенством Коши:     и     (неравенства строгие, так как  n ≠ n + 2).

2. Утверждение задачи справедливо и при  n = 2,  что можно проверить непосредственно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 93.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .