Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 6 других?

   Решение

---

Каждая клетка квадрата $100\times 100$ покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.

   Решение

---

Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы $3 \times 3$ так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось $2025$ и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось $2025$?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109011

Темы:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найти решение системы
  x⁴ + y⁴ = 17,
  x + y = 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109015

Темы:   [ Средние величины ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Показать, что если  a > b > 0,  то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между     и  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109166

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Замена переменных ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Решить уравнение  (x² – x + 1)⁴ – 10x²(x² – x + 1)² + 9x⁴ = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109164

Темы:   [ Объем помогает решить задачу ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Если через точку O , расположенную внутри треугольной пирамиды ABCD , провести отрезки AA₁,BB₁,CC₁,DD₁ , где A₁ лежит на грани, противоположной вершине A , B₁ – на грани, противоположной вершине B , и т.д., то имеет место равенство

A₁O/A₁A+B₁O/B₁B+C₁O/C₁C+D₁O/D₁D=1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52421

Темы:   [ Прямая Симсона ] [ Вспомогательная окружность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями