Задача 109164

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Если через точку O , расположенную внутри треугольной пирамиды ABCD , провести отрезки AA₁,BB₁,CC₁,DD₁ , где A₁ лежит на грани, противоположной вершине A , B₁ – на грани, противоположной вершине B , и т.д., то имеет место равенство

A₁O/A₁A+B₁O/B₁B+C₁O/C₁C+D₁O/D₁D=1.

Решение

Точка O является вершиной четырех пирамид, основаниями которых служат четыре грани данной пирамиды. Сумма объемов этих пирамид даст объем пирамиды ABCD (рис.). Сравним объем данной пирамиды с объемом одной из внутренних пирамид, например с объемом пирамиды OABC . Так как эта пирамида имеет основание ABC , как и данная пирамида, то объемы этих пирамид относятся как их высоты. Пусть высота данной пирамиды DM , а высота пирамиды OABC – ON . Обе эти высоты лежат в плоскости треугольника DD₁M , NO||DM . Из подобия треугольников найдем, что высоты пирамид относятся как D₁O: D₁D . Если обозначим объем данной пирамиды через V , а объемы внутренних пирамид через V₁,V₂,V₃,V₄ , то для первой пирамиды получим V₁/V=D₁O/D₁D . Аналогично для остальных пирамид найдем:

V₂/V=A₁O/A₁A,; V₃/V=B₁O/B₁B,; V₄/V=C₁O/C₁C.
Запишем объем данной пирамиды: V=V₁+V₂+V₃+V₄ . Если это равенство разделить почленно на V и подставить найденные выше отношения объемов, получим доказываемое равенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
неизвестно
Название	Задача 11.3