ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Года:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 469]      



Задача 73555  (#М20)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Итерации ]
Сложность: 5
Классы: 7,8,9,10

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?

Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58097  (#М21)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55483  (#М22а)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:

а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;

б) BM = CK;

в) BC = PL.

Прислать комментарий     Решение


Задача 53132  (#М22б)

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках K1 и K2, а другая — в точках L1 и L2. Докажите, что прямая K1L2 высекает на этих двух окружностях равные хорды.

Прислать комментарий     Решение


Задача 73558  (#М23)

Темы:   [ Произведения и факториалы ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Для любого натурального числа n, большего единицы, квадрат отношения произведения первых n нечётных чисел к произведению первых n чётных чисел больше числа 1/4n, но меньше числа 3/8n. Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 469]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .