ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 52485  (#М611)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На хорде AB окружности S с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности S с окружностью, описанной около треугольника ACO. Докажите, что CD = CB.

Прислать комментарий     Решение


Задача 79382  (#М612)

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

a1, a2, a3, ..., an, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  an+1 ≤ 10an  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a1a2a3..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79385  (#М645)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Три прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  r > l/3;   б)   r > l/4;   в)   r > l/5;   г)   r > l/7.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97763  (#М656)

Темы:   [ Площадь (прочее) ]
[ Конус ]
[ Векторы (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Площадь сферы и ее частей ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97761  (#М657)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Анджанс А.

В таблице N×N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .