Задача 73555

Темы:    [ Разные задачи на разрезания ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Итерации ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9,10

Условие

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?

Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

Решение

Решение. На рисунке изображен выпуклый 12 -угольник, который разрезан диагоналями на 5 частей: 8 -угольник и четыре треугольника. Каждая прямая пересекает не более двух из этих треугольников. Действительно, прямая пересекающая треугольник, должна пересечь по крайней мере одну из его сторон, общую с 12 -угольником; с другой стороны, прямая может пересечь не более двух (не соседних) сторон выпуклого многоугольника. Точно так же, если A₁ A₂ ...A3n – выпуклый 3n -угольник, то любая прямая пересекает не более двух из треугольников A₁ A₂ A₃ , A₄ A₅ A₆ , A₇ A₈ A₉ , ... , A3n-2 A3n-1 A3n . Теперь покажем, как можно разбить требуемым образом треугольник (рис.7). Проведем прямые, отсекающие три треугольника первого ранга, так, чтобы остался правильный 6 -угольник. От каждой его вершины отрежем по треугольнику второго ранга, так, чтобы остался правильный 12 -угольник. От каждой его вершины отрежем треугольник третьего ранга, чтобы остался правильный 24 -угольник, и так 19 раз. После отрезания от вершин 3 · 2^k-1 -угольника 3 · 2^k-1 треугольников k -го ранга остается правильный 3 · 2^k -угольник ( k=1, 2, ... 19 ). Любая прямая пересекает не более двух треугольников каждого ранга и еще, быть может, оставшийся 3 · 219 -угольник, т.е. всего не более 1+2 · 19=39 многоугольников. Общее число всех многоугольников, на которые разбит треугольник, равно

1+3+3 · 2+3 · 2²+...3 · 218=1+3(219-1)>220= (210)²>1000².

Ответ

можно .

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М20