Задача 58097

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Решение

Спроектируем все данные окружности на сторону AB квадрата ABCD. Проекцией окружности длины l является отрезок длины ^l/_π. Поэтому сумма длин проекций всех данных окружностей равна  ¹⁰/_π > 3.  Значит, на отрезке AB есть точка, принадлежащая проекциям по крайней мере четырёх окружностей. Перпендикуляр к AB, проведённый через эту точку, пересекает по крайней мере четыре окружности.

Замечания

Задача предлагалась только для школьников Москвы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	9
Дата	1987/1988
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	3
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М21
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	2
Название	Углы и длины
Тема	Принцип Дирихле (углы и длины)
задача
Номер	21.018