Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]

Задача 58348 (#28.029)

[Теорема Фейербаха]

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C₁ и B₁ так, что AC₁ = B₁C₁ и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB₁C₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB₁C₁ касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 58349 (#28.030)

Тема:

[

Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58350 (#28.031)

Темы:	[	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58351 (#28.032)

Темы:	[	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Пятиугольники	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58352 (#28.033)

Тема:

[

Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]