Параграфы:
-
параграф 1. Свойства инверсии
(8 задач)
параграф 2. Построение окружностей
(7 задач)
параграф 3. Построения одним циркулем
(7 задач)
параграф 4. Сделаем инверсию
(9 задач)
параграф 5. Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
(7 задач)
параграф 6. Цепочки окружностей
(4 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]
На плоскости взяты шесть точек A1, A2, B1, B2, C1, C2.
Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A1B1C1,
A1B2C2, A2B1C2, A2B2C1,
проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников
A2B2C2, A2B1C1, A1B2C1, A1B1C2, проходят через
одну точку.
В этой задаче мы будем рассматривать наборы
из n прямых общего положения, т. е. наборы, в которых
никакие две прямые не параллельны и никакие три не
проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, то четыре окружности Si, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть li, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек Ai, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).
Пусть на двух пересекающихся прямых l1 и l2
выбраны точки M1 и M2, не совпадающие с точкой
пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им
окружность, проходящую через M1, M2 и M.
Если (l1, M1), (l2, M2), (l3, M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1, M1) и (l2, M2), (l2, M2) и (l3, M3), (l3, M3) и (l1, M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).
Окружности
S1, S2,..., Sn касаются двух окружностей R1
и R2 и, кроме того, S1 касается S2 в точке A1, S2
касается S3 в точке A2..., Sn - 1 касается Sn в точке An - 1. Докажите, что точки
A1, A2,..., An - 1
лежат на одной окружности.
Докажите, что если существует цепочка окружностей
S1, S2,..., Sn, каждая из которых касается двух соседних
(Sn касается Sn - 1 и S1) и двух данных непересекающихся
окружностей R1 и R2, то таких цепочек бесконечно много.
А именно, для любой окружности T1, касающейся R1 и R2
(одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в другой,
внешним и внутренним образом в противном случае), существует
аналогичная цепочка из n касающихся окружностей
T1, T2,..., Tn (поризм Штейнера).
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]
Задача 58353 (#28.034) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 58354 (#28.035) |
|
|
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, то четыре окружности Si, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть li, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек Ai, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).
|
|
|
Решение |
Задача 58355 (#28.036) |
|
|
Если (l1, M1), (l2, M2), (l3, M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1, M1) и (l2, M2), (l2, M2) и (l3, M3), (l3, M3) и (l1, M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).
|
|
|
Решение |
Задача 58356 (#28.037) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58357 (#28.038) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]
