Задача 58350

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

Решение

Сделаем инверсию с центром в точке A₁. Тогда окружности S₁, S₂ и S₄ перейдут в прямые A₂^*D₁^*, B₁^*A₂^* и  D₁^*B₁^*, окружности S₃ и S₄ — в окружности S₃^* и S₄^*, описанные около треугольников B₂^*C₁^*B₁^* и  C₁^*D₁^*D₂^* (рис.). Проведем окружность через точки B₂^*, D₂^*, A₂^*. Согласно задаче 2.80, а) она пройдет через точку C₂^* пересечения окружностей S₃^* и S₄^*. Таким образом, точки A₂^*, B₂^*, C₂^*, D₂^* лежат на одной окружности. Следовательно, точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности или прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	5
Название	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
Тема	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
задача
Номер	28.031