Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XIV Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2018 г.)
>>
10 класс
Фильтр
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Решение
Найти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000. Решение
Решение
Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой. Решение
Убрать все задачи
Дед звал внука к себе в деревню:
– Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растут груши и яблони, причём яблони посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растёт ровно две груши.
– Ну и что тут интересного, – ответил внук. – У тебя, значит, яблонь вдвое меньше, чем груш.
– А вот и не угадал, – улыбнулся дед. – Яблонь у меня в саду вдвое больше, чем груш.
Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда.
РешениеНа урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
РешениеНайти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.
РешениеПравильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на 2n – 1 треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.
РешениеВысоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.
В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.
Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.
На плоскости дано конечное множество $S$ точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множество разделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из $S$ образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество $S$ разделимо?
В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 66682 (#10.1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66683 (#10.2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66684 (#10.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66685 (#10.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66686 (#10.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
