|
|
 |
Условие
Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на 2n – 1 треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.
Решение
Стороны треугольников являются либо сторонами, либо диагоналями исходного многоугольника. По крайней мере два треугольника содержат в качестве сторон по две стороны многоугольника (назовём такие треугольники малыми). Действительно, треугольников 2n – 1, а сторон многоугольника 2n + 1, при этом никакой треугольник не может содержать три такие стороны. Малые треугольники, очевидно, равнобедренные. Если их не менее трёх, то все доказано.
Пусть их всего два. Это значит, что любой другой треугольник содержит (в качестве стороны) ровно одну сторону многоугольника. Можно считать, что длина окружности равна 2n + 1, тогда каждая сторона многоугольника стягивает дугу длины 1. Треугольник, куда попал центр круга, остроугольный. Значит, каждый его угол опирается на дугу короче полуокружности, то есть длины не более n. Но один угол опирается на дугу длины 1, поэтому два других – на дуги длины n. Следовательно, эти углы равны, и треугольник равнобедренный.
Замечания
5 баллов
