Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]

Задача 64402

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+

Автор: Полянский А.

В описанном четырёхугольнике ABCD AB = CD ≠ BC. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64648

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Полянский А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали перпендикулярны. На сторонах AD и CD отмечены соответственно точки M и N так, что углы ABN и CBM прямые. Докажите, что прямые AC и MN параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66686

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Полянский А.

В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 64809

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Полянский А.

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111827

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Полянский А.

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Отрезок AA₁ вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A₁C₁ и A₁B₁ пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что ∠PQR = ∠B₁QC₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]