Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что  ∠(CC₁, AB) = ∠(AA₁, BC) = ∠(BB₁, CA) = α.  Прямые AA₁ и BB₁, BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁ пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

   Решение

---

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

   Решение

---

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

   Решение

---

На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66317  (#10.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построения одной линейкой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ] [ Индукция в геометрии ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66208  (#5)

Темы:   [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На плоскости дан отрезок AB. Рассмотрим всевозможные остроугольные треугольники со стороной AB. Найдите геометрическое место
  а) вершин их наибольших углов;
  б) их центров вписанных окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66303  (#8.5)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дан квадрат ABCD. Первая окружность касается сторон угла A, вторая – сторон угла B, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону AB в её середине.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66310  (#9.5)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66318  (#10.5)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB', CC'. Через A и C' проведены две окружности, касающиеся BC в точках P и Q.
Докажите, что точки A, B', P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями